Application numérique

Pour cette application numérique, nous allons calculer le budget Dv de la mission Vénus express (VEX), qui a été placée sur une orbite très excentrique autour de Vénus. On va simplifier en considérant que les deux planètes sont sur le même plan orbital et que leur orbite est circulaire (Vénus et la Terre ayant respectivement la 1^ère et la 3^ème orbite circulaire du système solaire).

Données

Paramètre gravitationnel standard du Soleil : µ_s= 132 712 440 018 km³ s^-2

Paramètre gravitationnel standard de Vénus : µ_v= 324 859 km³ s^-2

Paramètre gravitationnel standard de la Terre : µ_t=398 600 km³ s^-2

Rayon de Vénus : R_v= 6 051,8 km

Rayon de la Terre : R_t= 6 378,1 km

Demi-grand axe de Vénus : a_v=108 208 930 km

Demi-grand axe de la Terre : a_t= 149 597 887,5 km

Orbite parking terrestre

Altitude de l’orbite circulaire : H=250km

Orbite vénusien visée :

Altitude au périastre : h_p=250km

Altitude a l’apoastre : h_a=66 000 km

Calculs

Pour commencer ce voyage, Vex va être mis sur une orbite terrestre basse par une fusée Soyouz FG depuis le cosmodrome Baïkonour situé au Kazakhstan. Ce lancement consiste à placer la sonde et un étage supérieur (fregat) sur une orbite parking que l’on considérera comme circulaire de 250km d’altitude. Après 1 heure 36 sur cette orbite parking, l’étage fregat s’est rallumé pour l’envoyer sur la trajectoire interplanétaire.

Pour connaitre le Dv nécessaire pour passer sur un trajet interplanétaire, il faut définir l’orbite de transfert interplanétaire. Vu qu’on passe d’une orbite circulaire à l’autre, on utilise l’orbite de transfert la plus économique qui est l’orbite de Hohmann dans le système solaire. On a donc un périhélie (périastre dans le système solaire) au niveau de l’orbite de Vénus (r_p= a_v=108 208 930 km) et un aphélie au niveau de l’orbite Terrestre (r_a= a_t= 149 597 887,5 km). On peut donc calculer la vitesse à laquelle Vex doit quitter le système terrestre pour suivre cette orbite de transfert car elle correspond à Dv2 de l’orbite de Hohmann.

On peut donc en déduire le Dv nécessaire depuis une orbite de parking terrestre circulaire de 250km d’altitude (donc 6 628,1km de rayon).

Si on compare à la carte de Dv ci-dessous, on observe que la somme des traits entre l’orbite terrestre basse (low orbit) et l’orbite de transfert (earth-venus transfert) est égal à 3,49km/s.

Vu que la Terre est située à l’aphélie et Vénus au périhélie, Vex a dû parcourir la moitié de l’orbite avant d’atteindre sa destination. La durée du voyage est donc la moitié de la période que l’on peut calculer facilement après avoir trouvé le demi grand axe a.

L’orbite excentrique visée autour de Vénus n’est pas habituel, donc ne se retrouve pas sur une carte de Dv ni de formule prête à l’emploi. Il faut donc calculer en un point la différence de vitesse entre la trajectoire initiale et l’orbite visée. Un Dv est toujours plus efficace au plus près du corps dominant donc il faut que la trajectoire hyperbolique ait le même périastre que l’orbite visé pour pouvoir faire la manœuvre orbitale en ce point.

Il faut donc commencer par calculer la vitesse a l’infini avec laquelle Vex rentre dans le système vénusien, c’est le Dv1 de l’orbite de transfert de Hohman.

Vu que l’on connait la vitesse a l’infini et l’altitude au périastre (la même que l’orbite visée) on peut calculer la vitesse en ce point sur la trajectoire hyperbolique.

r_p=h_p+R_v=250+6 051,8= 6 301,8km

On doit maintenant calculer la vitesse au périastre de l’orbite visée en passant par le calcul des données géométriques.

r_a=h_a+R_v=66 000 +6 051,8 = 72 051,8km

Le dv nécessaire à se mettre en orbite est donc la différence entre la vitesse initiale et finale.

Dv_capture= v_p(final)- v_p(inital)= 9,73-10,51=-0,78km/s

Imaginons l’inclinaison d’arrivée ne soit pas celle voulue pour l’orbite de travail et que les deux soient décalées de 10° avec les points d’intersections au niveau de l’apoastre et du périastre. Le plus économique est une manœuvre au passage au l’apoastre, donc il faut commencer par calculer la vitesse à ce niveau avant de calculer le Dv de la manœuvre.

Le budget dv total de la mission est donc la somme de tous ces Dv, celui d’échappement, de capture et du changement inclinaison.

A ce budget doit s’ajouter des réserves pour les nombreuses petites manœuvres de correction de trajectoire au cours de ses 8 ans de mission.